精英中考網(wǎng)消息：2017年山東省濟(jì)南市中考已經(jīng)結(jié)束，六月，又有一批新的考生參加2018中考，為了幫助廣大考生更好的復(fù)習(xí)備考，小編收集整理了2017濟(jì)南中考各科試題及參考答案，供廣大考生參考，下面是2017濟(jì)南中考數(shù)學(xué)試題試卷及答案

27．(2017濟(jì)南，27，9分)

某學(xué)習(xí)小組的學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到了下面的問題：

如圖1，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠CAB＝∠EAD＝60°，點(diǎn)E，A，C在同一條直線上，連接BD，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，連接EF，CF，試判斷△CEF的形狀并說明理由．

問題探究：

（1）小婷同學(xué)提出解題思路：先探究△CEF的兩條邊是否相等，如EF＝CF，以下是她的證明過程

證明：延長(zhǎng)線段EF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G． ∵F是BD的中點(diǎn)， ∴BF＝DF. ∵∠ACB＝∠AED＝90°， ∴ED∥CG.

∴∠BGF＝∠DEF. 又∵∠BFG＝∠DFE， ∴△BGF≌△DEF(       ). ∴EF＝FG. ∴CF＝EF＝EG.

請(qǐng)根據(jù)以上證明過程，解答下列兩個(gè)問題：

①在圖1中作出證明中所描述的輔助線；

②在證明的括號(hào)中填寫理由（請(qǐng)?jiān)赟AS，ASA，AAS，SSS中選擇）．

（2）在（1）的探究結(jié)論的基礎(chǔ)上，請(qǐng)你幫助小婷求出∠CEF的度數(shù)，并判斷△CEF的形狀．

問題拓展：

（3）如圖2，當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度時(shí)，連接CE，延長(zhǎng)DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，其他條件不變，判斷△CEF的形狀并給出證明．

【解】（1）①證明中所敘述的輔助線如下圖所示：

②證明的括號(hào)中的理由是：AAS.

（2）△CEF是等邊三角形．證明如下：

設(shè)AE＝a，AC＝b，則AD＝2a，AB＝2b，DE＝a，BC＝b，CE＝a＋b.

∵△BGF≌△DEF,∴BG＝DE＝a.∴CG＝BC＋BG＝(a＋b)．

∵＝＝，＝，∴＝.

又∵∠ACB＝∠ECG，∴△ACE∽△ECG.

∴∠CEF＝∠CAB＝60°.

又∵CF＝EF(已證)，

     ∴△CEF是等邊三角形．

（3）△CEF是等邊三角形．

證明方法一：

如答案圖2，過點(diǎn)B作BN∥DE，交EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接CN，則∠DEF＝∠FNB.

又∵DF＝BF，∠DFE＝∠BFN，∴△DEF≌△BNF．∴BN＝DE，EF＝FN．

設(shè)AC＝a,AE＝b,則BC＝a,DE＝b．

∵∠AEP＝∠ACP＝90°，∴∠P＋∠EAC＝180°．

∵DP∥BN，∴∠P＋∠CBN＝180°．∴∠CBN＝∠EAC．

在△AEC和△BNC中，

∵＝＝＝,∠CBN＝∠EAC,

∴△AEC∽△BNC.∴∠ECA＝∠NCB.∴∠ECN＝90°.

又∵EF＝FN，

∴CF＝EN＝EF.

又∵∠CEF＝60°,

∴△CEF是等邊三角形．

證明方法二：

如答案圖3，取AB的中點(diǎn)M，并連接CM，F(xiàn)M，則CM＝AB＝AC.

又∵∠CAM＝60°,∴△ACM是等邊三角形.

∴∠ACM＝∠AMC＝60°.

∵AM＝BM,DF＝BF,∴MF是△ABD的中位線.∴MF＝AD＝AE且MF∥AD.

∴∠DAB＋∠AMF＝180°.

∴∠DAB＋∠AMF＋∠AMC＝180°＋60°＝240°.

即∠DAB＋∠CMF＝180°＋60°＝240°.

又∵∠CAE＋∠DAB＝360°－∠DAE－∠BAC＝360°－60°－60＝240°，

∴∠DAB＋∠CMF＝∠CAE＋∠DAB

∴∠CMF＝∠CAE.

又∵CM＝AC,MF＝AE，

∴△CAE≌△CMF.∴CE＝CF,∠ECA＝∠FCM.

又∵∠ACM＝∠ACF＋∠FCM＝60°,

∴∠ACF＋∠ECA＝60°.即∠ECF＝60°.

又∵CE＝CF,

∴△CEF是等邊三角形．

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